Kwadrat koła

OdFC Flying, an alchemia książka wydana w 1618 roku.
Część a
zbieżne szeregi włączone

Matematyka
Ikona math.svg
1 + 1 = 11

Kwadrat koła jest próbą skonstruowania, używając Krawędź i kompas , kwadrat o powierzchni równej powierzchni danego koła. Słowo „próba” zostało użyte powyżej, ponieważ zadanie zostało wykonane udowodniony niemożliwy. Wiadomo o tym od ponad 100 lat, ale podejrzewano o to znacznie dłużej.


Oczywiście tak drobna przeszkoda, jak niemożność, nie powstrzymała ludzi przed próbami prostowania koła. Osoba, która próbuje wyrównać okrąg, nazywana jest kretynem circle-squarer , a termin ten, przez metaforyczne rozszerzenie, może być stosowany do każdego praktykującego podobne rekreacyjne niemożności.

Więc jak możesz to zrobić?

Zawartość

Dlaczego chcesz podnieść okrąg do kwadratu?

Kwadrat koła (w skończonej liczbie kroków) to problem, który nie został rozwiązany od czasów starożytnych Grecy . Wynika z tego, że jeśli potrafisz go rozwiązać, musisz być mądrzejszy niż ktokolwiek od czasów starożytnych Greków. Prawdopodobnie zyskasz również powszechne uznanie za wyeliminowanie tak długotrwałego (a zatem niezwykle ważnego) problemu. Może wygrasz Medal Fieldsa !

Mówiąc bardziej poważnie, podniesienie koła do kwadratu wymagałoby skonstruowania długości begin {align} (x-2) ^ 2 + (4x) ^ 2 & = 16 \ x ^ 2-4x + 4 + 16x ^ 2 & = 16 \ 17x ^ 2-4x + 4 & = 16  end {align }. (Okrąg z promieniem17x ^ 2-4x-12 = 0ma obszarx =  frac {-b  pm  sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}. Stąd kwadrat o tej samej powierzchni musi mieć bok begin {align} x & =  frac {- (- 4)  pm  sqrt {(- 4) ^ 2-4 (17) (- 12)}} {2 (17)} \ x & =  frac { 7  pm8  sqrt {13}} {34}  end {align}) Gdyby można było skonstruować tę liczbę, to by to udowodniło begin {align} & f (0,966) = 4 (0,966) = 3,864 \ & f (-0,731) = 4 (-0,731) = - 2,923  end {align}jest liczbą algebraiczną, co oznacza, że ​​istnieje pewien zbiór liczb wymiernych, których możesz użyć do obliczenia tego.


Z różnych (zasadniczo subiektywnych) powodów myśleliśmy, żeAlchemiabył w jakiś sposób niedostępny przez „normalne” numery NAPRAWDĘ wydaje się, że niektórym przeszkadza. Legenda mówi, że Pitagoras zamordował osobę, która to odkryłabyła irracjonalna, więc taka myślsama w sobie była całkowicie niedostępna za pośrednictwem liczb całkowitych, byłaby anatemą. Jeden szczególny zarzut oparty jest na fragmentach w Biblia , jak wierzy się (przez niektórych literalistów) z 1 Królów 7: 23-26musi być racjonalne i równe 3.



Również nie bez powodu w XVIII wieku narodziło się przekonanie, że podniesienie okręgu do kwadratu w jakiś sposób rozwiązałoby problem „długości geograficznej” (niezdolność statków morskich do określenia, gdzie się znajdują na osi wschód-zachód). Ponieważ w ofercie były ogromne nagrody pieniężne (w 1714 r. Rząd brytyjski zaoferował nagrodę w wysokości 20 000 funtów), pobudziło to każdego matematyka-amatora w Europie. Kwadrat po okręgu jest właściwie nieistotny; wszystko, co było potrzebne do rozwiązania problemu długości geograficznej, to umiejętność obserwacji słońca i naprawdę dobry zegar.


w matematyka świat, pytanie padło w 1882 roku, kiedy udowodnił to Ferdinand von Lindemannnie jest algebraiczny (w żargonie technicznym jest „transcendentalny”). Ponieważ na pewno nie ma racjonalnych liczb, które można obliczyć, nie da się tego zbudowaćw przestrzeni euklidesowej.

Jednak prawdziwych wierzących nie odstraszy nic tak marnego jak „dowód”. Trwają, ponieważ wierzą, że istnieje ideologiczna stronniczość wobec osób zajmujących się kwadratowaniem kół, których odważne badania zagrażają wygodnej ortodoksji zachodniej matematyki dekonstrukcjonistycznej.


W rzeczywistości jedyną ideologiczną tendencją jest to, że prawdziwi matematycy nie przejmują się tym marnować czas z korby .

Szkic dowodu

W konstrukcji kompasu i linii prostej można dowolnie zdefiniować długość jednostki z dowolnej pary podanych punktów. Dodatkowo pod uwagę mogą być brane tylko podane punkty oraz przecięcia wcześniej zbudowanych okręgów i linii, a proste i okręgi mogą być konstruowane tylko z wcześniej zdefiniowanych punktów.

Znalezienie przecięcia prostej / okręgu i innej prostej / okręgu wymaga jednoczesnego rozwiązania układu dwóch równań, z których każde jest kwadratowe lub liniowe. Te proste i okręgi z kolei zależą od punktów, które je definiują, dlatego przy odrobinie algebry można zauważyć, że zdefiniowanie punktu z niektórych danych jest równoważne rozwiązaniu równania kwadratowego, którego współczynniki są albo liczbami całkowitymi, albo wynikiem wielokrotnych zastosowań tej metody.

Załóżmy na przykład, że chcieliśmy określić punkty, w których prosta o nachyleniu czterech przecina okrąg o promieniu czterech ze środkiem w punkcie. Aby znaleźć punkty przecięcia, musielibyśmy utworzyć układ równań, w którym okrąg jest określony przez równaniea linia jest określona równaniem. Następnie podstawilibyśmy równanie na prostą do równania na okrąg, rozszerzylibyśmy i uprościli.




Aby znaleźć korzenie, przestawiamy to na 0:

Zauważ, że jest to rzeczywiście wielomian z jedną zmienną, z liczbami całkowitymi jako współczynnikami, czego można by oczekiwać po konstrukcji kompasu i prostej krawędzi. Ponieważ nie będzie to łatwe, możemy użyć wzoru kwadratowego:

Do każdego kwadratu w formiestosuje się następujący wzór:



To jest „wzór kwadratowy”.

Korzystając z naszego równaniaco następuje:

Co daje korzenie.

Aby znaleźćwartości podstawiamy powyższe pierwiastki do równania na linię:

Z tego wynika, że ​​liniaprzecina okrągwi.


W analizie elementarnej liczby spełniające pewne równanie wielomianowegdzie współczynnikisą liczbami całkowitymi (tj. powyższe równanie kwadratowe) są tak zwanymi liczbami algebraicznymi. Ponadto tworzą tak zwane algebraicznie zamknięte pole, to znaczy wszystkie pierwiastki wielomianów ze współczynnikami algebraicznymi same są liczbami algebraicznymi. Dlatego wszystkie liczby, które można skonstruować za pomocą kompasu i linii prostej, muszą być algebraiczne, co(a zatem jego pierwiastek kwadratowy) nie są. Dlatego budowa jest niemożliwa. W rzeczywistości stałe matematyczne e (2,71828 ...) i(3.14159 ...) należą do klasy liczb znanej jako liczby transcendentalne, które nie są pierwiastkami niezerowych wielomianów ze współczynnikami całkowitymi. Pełny, formalny dowód tego jest znany jako twierdzenie Lindemanna – Weierstrassa. W przeciwieństwie do innych dziedzin (np. Nauki, prawa) pojęcie „dowodu” w matematyce jest absolutne, tj. Gdy już zostanie dostarczony ważny dowód czegoś, nie ma absolutnie nic, co mogłoby go obalić w obrębie podstawy aksjomatycznej, nad którą się pracuje.

Oszukać

Możesz to łatwo oszukać, ale czy możesz to zrobić za pomocą kompasu i prostej?

Typowym sposobem wyrównywania koła jest oszukiwanie. (Matematycy nazywają toprzybliżenie.) Przypomnij sobie, że stwierdzenie problemu polega na skonstruowaniu kwadratuten sam obszarmiećokrągza pomocąKrawędź i kompas.Każdy termin zapisany kursywą należy traktować jedynie jako opcjonalny.

Na przykład mając okrąg, łatwo jest skonstruować kwadrat o powierzchni równej 3,2 razy kwadratowi promienia danego koła. Ten kwadrat nie ma tego samego obszaru koła, ale będzie wyglądałokropnie blisko.To powinno wystarczyć matematykom.

Albo zamiast zaczynać od koła, moglibyśmy zacząć od wielokąta o, powiedzmy, 96 bokach. To wystarczająco blisko koła - prawda, wszyscy? Możliwe jest „podniesienie wielokąta do kwadratu” (jak było znane Grekom), więc w zasadzie możliwe jest podniesienie koła do kwadratu. Alternatywnie, możesz pokazać, jak podnieść do kwadratu wielokąt o 96 bokach, wielokąt o 192 bokach, wielokąt o 384 bokach i tak dalej. Dlatego przechodząc do granicy, możemy podnieść okrąg do kwadratu.

Oszukiwanie na wiele sposobów w tym samym czasie

Poniższy proces obejmuje kalkulator. Nie jest dokładna, ale można ją udoskonalić do dokładności posiadanych narzędzi.

  • Najpierw oblicz pole koła.
  • Następnie weź pierwiastek kwadratowy z powierzchni, aby uzyskać długość krawędzi kwadratu.
  • Jeśli masz dobre narzędzia do rysowania, możesz nawet narysować kwadrat teraz, gdy masz długość krawędzi.

Oszukiwanie z fizyczną pomocą

  • Utwórz koło tego samego rozmiaru co koło, które jest o połowę mniejsze niż jego promień.
  • Pokryj bok mokrą farbą i dokładnie raz obróć go po płaskiej powierzchni.
  • Pozostawia namalowany prostokąt o tej samej powierzchni co okrąg.
  • Zakończ, podnosząc ten prostokąt do kwadratu (ten krok można wykonać nawet przy użyciu linii prostej i kompasu).

Ostrzeżenie

Jeśli poczujesz chęć rozmawiania lub debatowania z osobami zajmującymi się kwadratowaniem kręgów, natychmiast zgłoś się do lekarza. Osoby zajmujące się kwadratowymi kółkami w większości nie są zainteresowane krytyką ich pomysłów. Nie przekonuje ich „dowód” - gdyby byli, nie zaczęliby od problemu. Widzieć Ujęcie Keitha Devlina na tym po więcej.

Klasyczna rodzina problemów nierozwiązywalnych

Kwadrat koła , podwojenie sześcianu i trójkącik można nazwać trójcą klasycznych problemów nierozwiązywalnych w geometrii euklidesowej. Ponieważ udowodniono, że wszystkie trzy są niemożliwe, używając tylko linijki i kompasu, oczywiście nie można się oprzeć korbom do prostowania, podwójnego i trójdzielnego. Innym problemem, tym razem fizycznym, jest wynalezienie wieczny ruch maszyna, co jest równie niemożliwe. Czas i wysiłek zmarnowany na to zaprzeczają przekonaniu, ale jeśli maniacy trzymają się tych daremnych prób, można argumentować, że przynajmniej nie wyrządzają żadnej szkody, angażując się w te wysiłki.